Cluster algebras and quantum cohomology rings: A-type

我们在与 $A$ 类型 quiver 关联的 quiver variety 的量子协合环中构建了一个 cluster algebra 结构。具体而言，设 $Fl:=Fl(N_1,\ldots,N_{n+1})$ 为长度为 $n$ 的部分杨简约 variety，$QH_S^*(Fl)[t]:=QH_S^*(Fl)\otimes \mathbb C[t]$ 为其等化量子协合环由形式变量 $t$ 延伸而得，视作 $\mathbb Q$-代数。我们在 $A_n$ 类型 cluster algebra 到代数 $QH_S^*(Fl)[t]$ 之间建立了一个注入 $\mathbb Q$-代数同态。进一步地，对于一般的具备 potential 的 quiver，我们提出了构建从其关联 cluster algebra 到相应 quiver variety 量子协合环的同态的框架。第二项主要结果涉及 $A_n$ 类型 quiver 所有代数 Seiberg 双曲性的猜想。对于任何一个具备 potential 且等价于 $A_n$ 类型 quiver 的 quiver，我们考虑由 potential 函数临界 locus 定义的相应 variety。我们证明了此类 variety 的所有代数 Gromov-Witten 不变量与杨简约 variety 的 Gromov-Witten 不变量相同。