Hall 代数的量子簇特征

本文旨在引入一种广义量子簇特征，它将有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的有限 Abel 范畴 $\mathcal{C}$ 中的每个对象 $V$ 以及 $\mathcal{C}$ 中简单对象的任意序列 $\mathbf{i}$ 映射为相应 $q$-多项式代数 $\mathcal{P}_{\mathcal{C},\mathbf{i}}$ 中的元素 $X_{V,\mathbf{i}}$。我们证明，如果 $\mathcal{C}$ 是遗传的，则赋值 $V \mapsto X_{V,\mathbf{i}}$ 定义了从 $\mathcal{C}$ 的（对偶）Hall-Ringel 代数到 $\mathcal{P}_{\mathcal{C},\mathbf{i}}$ 的代数同态，这推广了著名的从量子群上半部分到 $q$-多项式代数的 Feigin 同态。如果 $\mathcal{C}$ 是无环赋值箭图 $(Q,d)$ 的表示范畴，且 $\mathbf{i}=(\mathbf{i}_0,\mathbf{i}_0)$，其中 $\mathbf{i}_0$ 是一个无重复的源适应序列，那么我们证明 $\mathbf{i}$-特征 $X_{V,\mathbf{i}}$ 等于第二作者在文献 [29] 和 [30] 中较早引入的量子簇特征 $X_V$。利用这一识别，我们推导出了对应于 Coxeter 元素平方的量子单幂细胞的量子簇结构。作为推论，我们证明了第一作者与 A. Zelevinsky 在联合论文 [5] 中针对此类量子单幂细胞提出的猜想。作为副产品，我们构造了量子扭转 (quantum twist) 并证明其保持了 A. Zelevinsky 和第一作者在文献 [6] 中引入的三角基。