单变量与多变量$q$-Racah型有理函数的量子代数方法

本文利用$\mathcal U_q(\mathfrak{sl}_2)$的表示理论研究$q$-Racah型有理函数及其多元推广。$\mathcal U_q(\mathfrak{su}_2)$中扭曲本原元的本征函数可以用$q^{-1}$-Krawtchouk多项式表示。利用这一点，我们证明了广义特征值问题和特征值问题解的重叠系数可以用$_4\varphi_3$型有理函数表示。借助量子代数，我们推导了这些函数的（双）正交关系以及一个广义特征值问题。此外，利用这种新的代数解释，我们可以利用$\mathcal U_q(\mathfrak{sl}_2)$的余代数结构来寻找这些有理函数的多元推广，并推导多元函数的双正交关系和广义特征值问题。然后，我们对非紧致量子代数$\mathcal U_q(\mathfrak{su}_{1,1})$重复这一过程，其中$q^{-1}$-Al-Salam--Chihara多项式扮演了$q^{-1}$-Krawtchouk多项式的角色。作为多元有理函数的一个应用，我们展示了它们作为某些相互作用粒子系统的对偶函数出现。