量化不可嵌入定理与缝洞毯的度量嵌入

我们研究了称为缝洞毯（slit carpets）的度量空间类的双 Lipschitz 嵌入问题。首先，我们展示了 Merenkov 标准缝洞毯的第 n 阶 $\mathbb{M}_n$ 能够以脱落 $O(\sqrt{n})$ 嵌入欧几里得空间。随后，我们给出近乎尖锐的下界 $\Omega\left(\sqrt{\frac{n}{\log(n)}}\right)$。该结果量化了 David 和 Eriksson-Bique 最近的成果，从而为 Heinonen 和 Semmes 论文中第 8 题提供了量化答案，表明 $\mathbb{M}_\infty$ 不可双 Lipschitz 嵌入欧几里得空间。接着，我们研究标准缝洞毯的 $L^1$ 嵌入性。我们证明标准缝洞毯在 Cheeger 和 Kleiner 的意义上具有 Lipschitz 维数为 1，因而证明其可双 Lipschitz 嵌入 $L^1$。随后，我们对结果进行推广。首先，我们给出一种基于 Lebesque 微分的定性论证，表明一般缝洞毯不可双 Lipschitz 嵌入任何具有 RNP 属性的 Banach 空间。由此可得 $\mathbb{M}_\infty$ 不可双 Lipschitz 嵌入 $\ell_1$。随后，我们考虑缝洞毯 $\mathbb{M}^a$，其中缝的相对大小按序列 $a \in c_0$ 递减。我们给出一种基于 $\beta$-数 的定量论证，表明当 $a \notin \ell_{1+\epsilon}$ 时，缝洞毯 $\mathbb{M}^a$ 不可双 Lipschitz 嵌入 Hilbert 空间。