标准高度下小点的定量等分布

设 $X$ 为定义在数域 $K$ 上的光滑射影簇，设 $\varphi: X \to X$ 为度 $d \geq 2$ 的极化自同态。设 $\widehat{h}_{\varphi}$ 为 $X(\overline{K})$ 上与 $\varphi$ 相关的标准高度。给定一个满足 $\widehat{h}_{\varphi}(x_n) \to 0$ 的点 $(x_n)$ 的一般序列和一个位 $v \in M_K$，Yuan [Yua08] 已经证明 $x_n$ 的共轭点等分布于标准测度 $\mu_{\varphi,v}$。当 $v$ 为阿基米德位时，我们将证明 Yuan 结果的定量版本。我们将该结果应用于定义在数域 $K$ 上的光滑射影曲面的极化自同态 $\varphi$，并给出两个应用。第一个是周期为 $n$ 的周期点向平衡测度收敛的指数速率，第二个是包含所有周期为 $n$ 的周期点的扩域次数的指数下界。当 $X$ 为阿贝尔簇时，我们还给出了包含所有满足 $[K(x):K] \leq D$ 且 $\widehat{h}_X(x) \leq \frac{c}{D^8}$ 的点 $x \in X(\overline{K})$ 的超曲面的最小次数的上界，其中 $c > 0$ 为某个固定常数，$\widehat{h}_X$ 为 $X$ 的 Neron--Tate 高度。