规范高度的变化与等分布

设 $\pi : E\to B$ 是定义于数域 $K$ 上的椭圆曲面，其中 $B$ 是光滑射影曲线，并设 $P: B \to E$ 是定义于 $K$ 上的截面，其规范高度 $\hat{h}_E(P)\not=0$。在本文中，我们证明 $B(\overline{K})$ 上的函数 $t \mapsto \hat{h}_{E_t}(P_t)$ 是由 $B$ 上具非负曲率的 adelic 度量线丛诱导的高度。应用 Thuillier 和 Yuan 的定理，我们得到了 $P_t$ 为挠点的点 $t \in B(\overline{K})$ 的等分布，并给出了 $B(\mathbb{C})$ 上极限分布的显式描述。最后，结合 Masser 和 Zannier 的结果，我们证明了对任意分裂为椭圆曲线之积的阿贝尔簇族 $A \to B$ 的任意“非特殊”截面 $P$，在排除有限多个点 $t \in B$ 后，高度 $\hat{h}_{A_t}(P_t)$ 有一个正下界。