射影直线上秩二向量丛空间的等分布
数论
2018-02-21 v1 代数几何
动力系统
摘要
固定一个有限域。一条超椭圆曲线在射影直线上秩二丛的离散空间上确定了一个测度：给定向量丛的质量是使其成为前推的线丛的数量。在一系列 genus 趋于无穷的超椭圆曲线中，这些测度收敛于秩二丛空间上的自然测度。这是关于 Heegner 点等分布的 Duke 定理的函数域类比，并且可以用类似方法证明：它源于对 zeta 函数的操作以及曲线的 Riemann 猜想。同样，配备有线丛的一系列超椭圆曲线会在秩 2 丛对的空间上产生一系列测度。我们对可能出现的极限测度给出了一个猜想分类；这是 Michel 和 Venkatesh 的“混合猜想”（Mixing Conjecture）的函数域类比。如同数域情形，当线丛足够特殊时，遍历论已足够。对于剩余的丛，我们转向几何，计算超椭圆曲线 Jacobian 中特殊除子轨迹平移的交点上的点数。为了证明等分布，我们需要两个结果。第一个我们已证明：这些轨迹的上同调与 Jacobian 的同调一致。第二个我们在特征零中建立并在特征 p 中猜想：这些空间的 Betti 数之和的增长速度至多为超椭圆曲线 genus 的指数级。
引用
@article{arxiv.1307.8237,
title = {Equidistribution on the space of rank two vector bundles over the projective line},
author = {Vivek Shende and Jacob Tsimerman},
journal= {arXiv preprint arXiv:1307.8237},
year = {2018}
}