米先琴科-福缅科子代数的量子化与幂零极限

对于任意单李代数 $\mathfrak{g}$ 与元素 $\mu\in\mathfrak{g}^*$，相应的 $\mathcal{U}(\mathfrak{g})$ 的交换子代数 $\mathcal{A}_{\mu}$ 定义为与 $\mathfrak{g}$ 关联的Feigin-Frenkel中心的同态像。已知当 $\mu$ 为正则元时，该子代数解决了Vinberg量子化问题，因为 $\mathcal{A}_{\mu}$ 的分次像与 $\mathcal{S}(\mathfrak{g})$ 的米先琴科-福缅科子代数 $\overline{\mathcal{A}}_{\mu}$ 一致。根据Feigin、Frenkel与Toledano Laredo的猜想，该性质可推广至任意元素 $\mu$。我们给出了对某些 $\mu$ 的选择蕴含该性质的充分条件。特别地，这证明了C型中的猜想并给出了A型中的新证明。我们证明了代数 $\mathcal{A}_{\mu}$ 在这两种情形下均是自由的，并显式给出了其生成元。此外，我们证明了在所有经典型中，$\mathcal{A}_{\mu}$ 的生成元均可通过典范对称化映射由 $\overline{\mathcal{A}}_{\mu}$ 的某些生成元得到。该对称化映射还被用于生成 $\mathcal{A}_{\mu}$ 的幂零极限的自由生成元，并给出这些极限子代数的Vinberg问题的肯定解。