移位量子仿射代数表示的膨胀

固定一个有限维单 Lie 代数 $\mathfrak{g}$，并设 $\mathfrak{g}_J\subseteq\mathfrak{g}$ 为源于 Dynkin 图包含的 Lie 子代数。那么，相应的限制函子在有限维单 $\mathfrak{g}_J$-模上不是本质满射的。在本文中，我们研究 Finkelberg-Tsymbaliuk 的移位量子仿射代数 $U_q^{\mu}(\mathfrak{g})$ 及其相关范畴 $\mathcal{O}^{\mu}$（由 Hernandez 定义）。特别地，我们引入自然子代数 $U_q^{\nu}(\mathfrak{g}_J)\,{\subseteq}\,U_q^{\mu}(\mathfrak{g})$，并利用典范限制函子得到一个从 $\mathcal{O}^{sh}\,{=}\bigoplus_{\mu}\mathcal{O}^{\mu}$ 到 $\bigoplus_{\nu}(U_q^{\nu}(\mathfrak{g}_J)\text{-Mod})$ 的函子 $\mathcal{R}_J$。然后，通过构造我们称之为膨胀的显著原像，我们证明了 $\mathcal{R}_J$ 在有限维单对象上是本质满射的。我们猜想 $\mathcal{O}^{sh}_J$（即 $\mathcal{O}^{sh}$ 对于子代数 $U_q^{\nu}(\mathfrak{g}_J)$ 的类比）中的所有单对象都允许某种膨胀，并对 A-B 型的 $\mathfrak{g}$ 或 $\mathfrak{g}_J$ 为 $\mathfrak{sl}_2$ 和 $\mathfrak{sl}_3$ 拷贝的直和的情况证明了这一点。最后，我们应用我们的结果推导出某些 $R$-矩阵以及 Grothendieck 环上的簇结构示例。