关于 Mishchenko-Fomenko 系统的奇点

对每个复半单李代数 $\mathfrak{g}$ 与正则元 $a\in\mathfrak{g}_{\text{reg}}$，可关联一个 Mishchenko-Fomenko 子代数 $\mathcal{F}_a\subseteq\mathbb{C}[\mathfrak{g}]$。该子代数等价于泊松簇 $\mathfrak{g}$ 上的一个完全可积系统，并由此具有分支图 $\Sigma_a\subseteq\mathrm{Spec}(\mathcal{F}_a)$。我们证明：若 $a\in\mathfrak{g}_{\text{reg}}$ 非幂零，则 $\Sigma_a$ 在 $\mathrm{Spec}(\mathcal{F}_a)$ 中余维数为一；若 $a\in\mathfrak{g}_{\text{reg}}$ 为幂零，则其具有余维数一或二。在幂零情形，我们展示了两种可能的余维数均可实现。我们的结果显著改进了关于 $\Sigma_a$ 余维数的已有估计。