关于 Mishchenko-Fomenko 系统的纤维

本研究涉及 Mishchenko 与 Fomenko 在复数半单李代数 $\mathfrak{g}$ 上完全可积系统的著名理论。他们的理论将 $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]$ 的一个极大泊松交换子代数关联到每个正则元 $a\in\mathfrak{g}$，并且可将该子代数的自由生成元组装为一个矩映射 $F_a:\mathfrak{g}\rightarrow\mathbb{C}^b$。我们基于 Bolsinov、Charbonnel--Moreau、Moreau 及其他人奠定的基础，考察 Mishchenko--Fomenko 系统中纤维的结构。这包括证明 $F_a$ 的临界值在 $\mathbb{C}^b$ 中余维数为 $1$ 或 $2$，且每种余维数都可在例子中实现。我们关于奇点的结果用到了一个子代数 $\mathfrak{b}^a\subseteq\mathfrak{g}$，定义为包含 $a$ 的所有 Borel 子代数的交。对于非幂零的 $a\in\mathfrak{g}_{\text{reg}}$ 与元 $x\in\mathfrak{b}^a$，我们证明如下：$x+[\mathfrak{b}^a,\mathfrak{b}^a]$ 位于 $F_a^{-1}(F_a(x))$ 的奇异轨迹中，且经过 $\mathfrak{b}^a$ 中点的纤维构成一个 $\mathrm{rank}(\mathfrak{g})$ 维的奇异纤维族。接下来我们考虑纤维的不可约分支，给出通过 Levi 子代数 $\mathfrak{l}\subseteq\mathfrak{g}$ 上的 Mishchenko--Fomenko 系统系统性构造许多分支的方法。此外，我们获得了关于不源于上述构造的不可约分支的具体结果。我们最后一个主要结果是 $F_a^{-1}(0)$ 中不可约分支数的递归公式，它推广了 Charbonnel--Moreau 的一个结果。本文末尾给出了说明性例子。