与李代数滤子相关的可积系统

1983年 Bogoyavlenski 猜想：若李代数 $\mathfrak g_0$ 上的欧拉方程可积，则其对与李代数滤子 $\mathfrak g_0\subset \mathfrak g_1\subset \mathfrak g_2\dots\subset\mathfrak g_{n-1}\subset \mathfrak g_n=\mathfrak g$ 相关的半单李代数 $\mathfrak g$ 的某些扩张也可积。特别地，取 $\mathfrak g_0=\{0\}$ 及 $\mathfrak{so}(n)$ 和 $\mathfrak{u}(n)$ 的自然滤子，我们得到 Gel'fand-Cetlin 可积系统。我们证明了紧李代数 $\mathfrak g$ 滤子情形的猜想：该系统借助多项式积分在非交换意义下可积。文中还给出了该系统完备交换多项式积分的多种构造。