$D(2,1;a)$ 型李超群的奇异退化

复李超代数 $\mathfrak{g}$ 型 $D(2,1;a)$ —— 也记为 $\mathfrak{osp}(4,2;a)$ —— 通常在参数 $a$ 的“非奇异”值下被考虑，此时它们是单的。本文引入 $\mathfrak{g}$ 的五种合适整形式，它们在奇异值处也有定义，从而产生不再是单的“奇异特化”：这以五种不同的方式扩展了型 $D(2,1;a)$ 的单对象族。所得的五个族在 $a$ 的一般值处重合，但在“奇异”值处不同：此处它们给出非单李超代数，我们明确描述了其结构。我们还对复李超群进行平行构造，并描述其在 $a$ 奇异值处的奇异特化（或“退化”）。尽管可以使用单个复参数 $a$，但为了强调整个情形的整体 $\mathfrak{S}_3$-对称性，我们（遵循 Kaplansky）使用二维参数 $\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)$ 在仿射平面 $\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 = 0$ 中取值。