泊松齐性空间的等变量子化与Kostant问题

设 $\mathfrak g$ 为有限维分裂半单李代数，$\lambda$ 为 $\mathfrak g$ 的一个权。设 $F$ 为对应于 $\mathfrak g$ 的单连通群 $G$ 上的量子正则函数代数。在本文中，我们引入 $F$ 的一个特定子空间 $F'$（它不一定是 $F$ 的子代数），并利用所谓的约化融合元素赋予其一个结合的 $\star$-积。我们证明代数 $(F',\star)$ 同构于 $(L(\lambda))_{fin}$，其中 $L(\lambda)$ 是不可约最高权 $\check{U}_q\mathfrak g$-模，而“$fin$”表示关于 $\check{U}_q\mathfrak g$ 伴随作用的局部有限元素子代数。所引入的 $\star$-积具有某些极限性质，这使我们能够在某些情况下证明 $\check{U}_q\mathfrak g$ 的Kostant问题。我们提醒读者，这意味着 $(L(\lambda))_{fin}$ 与 $\check{U}_q\mathfrak g$ 在 $L(\lambda)$ 中的像重合。我们还注意到，如果 $\lambda$ 使得对于某些单根 $\alpha_i$ 有 $<\lambda,\alpha_i^\vee>=0$，且在其他情况下是通用的，那么 $(F,\star)$ 是泊松齐性空间 $G/K$ 的一个 $\check{U}_q\mathfrak g$-不变量子化，其中 $K$ 是 $\lambda$ 的稳定化子。