光滑群胚作用的伪微分扩张与绝热形变

光滑群胚 $\mathcal{G}$ 的绝热群胚 $\mathcal{G}_{ad}$ 是将 $\mathcal{G}$ 与其代数胚相关联的一种形变。在先前的工作中，我们在 $\mathcal{G}$ 上的零阶伪微分算子 C*-代数上构造了一个自然的 $\mathbb{R}$ 作用，并将该交叉积与 $C^*(\mathcal{G}_{ad})$ 的一个自然理想 $J(\mathcal{G})$ 等同起来。在本文中，我们证明 $C^*(\mathcal{G}_{ad})$ 本身就是该交叉积在 Saad Baaj 引入的意义下的一个伪微分扩张。需要指出的是，我们在稍许一般的情形下证明了我们的结果：假设光滑群胚 $\mathcal{G}$ 作用在一个 C*-代数 $A$ 上。在这一广义框架下，我们构造了相关交叉积 $A\rtimes \mathcal{G}$ 的零阶伪微分算子 $\Psi(A,\mathcal{G})$ 的扩张。我们证明 $\mathbb{R}$ 自然地作用于 $\Psi(A,\mathcal{G})$，并将 $A$ 在绝热群胚 $\mathcal{G}_{ad}$ 作用下的交叉积与交叉积 $\Psi(A,\mathcal{G})\rtimes \mathbb{R}$ 的一个扩张等同起来。注意，我们对 $\Psi(A,\mathcal{G})$ 的构造统一了 Connes（$A=\mathbb{C}$ 的情形）和 Baaj（$\mathcal{G}$ 为李群的情形）的构造。