交叉积的强纯无限性

考虑离散群 $G$ 在可分 $C^*$-代数 $A$ 上的精确作用。研究表明，若 $G$ 在任何 $G$-不变闭理想 $I\neq A$ 的商 $A/I$ 上的作用是逐点真外部的（element-wise properly outer），且 $G$ 在 $A$ 上的作用是 $G$-分离的（参见定义 4.1），则约化交叉积 $A\rtimes_{\sigma, \lambda} G$ 是强纯无限的。这是针对非 $G$-简单的 $C^*$-代数 $A$ 的约化交叉积具有强纯无限性的首个非平凡充分判据。在 $A=\mathrm{C}_0(X)$ 的情形下，$G$-分离作用的概念对应于如下性质：包含在开子集 $C_j\subseteq U_j \subseteq X$ 中的两个紧集 $C_1$ 和 $C_2$，可以通过 $G$ 中的元素 $g_j$ 映射到不相交的集合 $\sigma_{g_j}(C_j)\subseteq U_j$，但我们不要求 $\sigma_{g_j}(U_j)\subseteq U_j$。本文还引入了紧空间上的强边界作用到非单位元和非交换 $C^*$-代数 $A$ 的推广（参见定义 6.1）。根据命题 6.6，这一推广强于 $G$-分离作用的概念，因为 $G$-分离并不蕴含 $G$-简单性，且存在 $G$-分离作用的例子，其约化交叉积是稳定无投影且非简单的。