交叉积的比较性与纯无穷性

设 $\alpha: G\curvearrowright X$ 为无限可数群在紧 Hausdorff 空间上的连续作用。我们证明，在作用 $\alpha$ 拓扑自由且在 $X$ 上无 $G$-不变正则 Borel 概率测度的假设下，动力比较性蕴含 $\alpha$ 的约化交叉积是纯无穷且简单的。作为应用，该结果展示了源于满足动力比较性作用的约化交叉积在稳定有限与纯无穷之间的二分性。我们还引入了悖论比较性与一致塔性质的概念。在作用 $\alpha$ 精确且本质自由的假设下，我们证明悖论比较性连同一致塔性质蕴含 $\alpha$ 的约化交叉积是纯无穷的。作为应用，我们给出了底层空间未必为零维的约化交叉积纯无穷性的新结果。最后，我们研究 Cantor 集上作用的类型半群，以建立类型半群的几乎无穿孔性与比较性的等价性。这为 R{\o}rdam 与 Sierakowski 论文中出现的一个问题提供了线索。