局部有限乘 virtually $\mathbb{Z}$ 群的非自由几乎有限作用

本文研究非自由作用的几乎有限性与测度意义下的几乎有限性。设 $\alpha:G\curvearrowright X$ 为局部有限乘 virtually $\mathbb{Z}$ 群 $G$ 在 Cantor 集 $X$ 上的极小作用。我们证明在某些假设下，作用 $\alpha$ 测度意义下几乎有限当且仅当 $\alpha$ 本质自由。作为一个应用，我们得到：具有小边界性质的无限紧可度量空间上 virtually $\mathbb{Z}$ 群的任意极小拓扑自由作用都是几乎有限的。这是在此方向上仅假设拓扑自由性的首个一般性结果，并由此得到其交叉积 $C^*$-代数的一致性质 $\Gamma$ 与 $\mathcal{Z}$-稳定性的新结果。给出了若干极小拓扑自由(但非自由)子移位的具体例子。