简单 $C^*$-代数交叉积的动力学比较与 $\mathcal{Z}$-稳定性

我们在称为关于不变迹的 McDuff 性质这一温和技术假设下，建立了顺从群在 $\mathcal{Z}$-稳定 $C^*$-代数上的外作用的叉积（crossed products）的 $\mathcal{Z}$-稳定性。我们利用一种弱形式的动力学比较获得了该结果，并在很一般的情形下验证了这一形式。我们通过证明关于不变迹的 McDuff 性质在许多感兴趣的情形中自动成立来补充我们的结果。例如，对于顺从群 $G$ 在可分类 $C^*$-代数 $A$ 上的每个作用，其迹空间 $T(A)$ 是边界 $\partial_e T(A)$ 为有限维的 Bauer 单形，且诱导作用 $G\curvearrowright \partial_eT(A)$ 是自由的，即属此情形。若 $G = \mathbb{Z}^d$ 且作用 $G\curvearrowright \partial_eT(A)$ 是自由且极小的，则我们得到关于不变迹的 McDuff 性质，从而即便在 $\partial_e T(A)$ 具有无限覆盖维数时，也得到相应叉积的 $\mathcal{Z}$-稳定性。