有限群交叉乘积的稳定秩与实秩

C*-代数群作用理论中一个长期未决的问题是交叉乘积的稳定秩。具体而言，N. C. Phillips 问道：若有限群 $G$ 作用于具有稳定秩一的简单单位 C*-代数 $A$，交叉乘积是否具有稳定秩一？关于实秩也可提出类似问题。现有多数部分解答对作用及 $A$ 的假设含有合理限制（主要是 Rokhlin 型性质）。我们去除对 $A$ 的所有额外假设（例如稳定有限性，以及 $A$ 上投影的序由迹决定），并证明若作用具有迹 Rokhlin 性质，且 $A$ 为简单且 $\sigma$-单位、具有稳定秩一或实秩零，则交叉乘积与不动点代数亦如此。此外，我们证明若 Kirchberg 中心序列代数 $\mathrm{F}(A)$ 具有实秩零，则对于作用于简单单位可分 C*-代数 $A$ 的作用，弱迹 Rokhlin 性质等价于迹 Rokhlin 性质。