对偶算子空间被局部紧群的交叉积

对于局部紧群 $G$ 通过对偶算子空间 $X$ 的 w*-连续完全等距同构作用 $\alpha$，可定义两个通常不同的交叉积概念，即 Fubini 交叉积 $X\rtimes_{\alpha}^{F}G$ 与空间交叉积 $X\overline{\rtimes}_{\alpha} G$。我们证明 $X\rtimes_{\alpha}^{F}G=X\overline{\rtimes}_{\alpha} G$ 当且仅当群 von Neumann 代数 $L(G)$ 在 Fubini 交叉积 $X\rtimes_{\alpha}^{F}G$ 上的对偶余模作用 $\widehat{\alpha}$ 是非退化的。作为一个应用，这给出了 Crann 与 Neufang 结果的另一证明：当 G 满足 Haagerup 与 Kraus 的逼近性质 (AP) 时两概念一致。此外，证明了 Anoussis、Katavolos 与 Todorov 为 $L^{1}(G)$ 的左闭理想 J 所定义的 $L(G)$-双模 $Bim(J^{\perp})$ 与 $Ran(J)^{\perp}$ 可分别等同于 $J$ 的零化子的空间交叉积与 Fubini 交叉积。因此，由主要结果得到 $Bim(J^{\perp})=Ran(J)^{\perp}$ 的充要条件。