关于 $L^{p}$ 算子交叉积的 Takai 对偶性

本文旨在研究 N. C. Phillips 提出的一个问题， concerning $L^p$ 算子交叉积 $F^{p}(G,A,\alpha)$ 的 Takai 对偶性的存在性，其中 $G$ 是局部紧阿贝尔群，$A$ 是 $L^{p}$ 算子代数，$\alpha$ 是 $G$ 在 $A$ 上的等距作用。受 D. Williams 关于 $C^*$-代数交叉积 Takai 对偶定理证明的启发，我们构造了从 $F^{p}(\hat{G},F^p(G,A,\alpha),\hat{\alpha})$ 到 $\mathcal{K}(l^{p}(G))\otimes_{p}A$ 的同态 $\Phi$，它是 D. Williams 映射的一个自然 $L^p$-类比。对于可数离散阿贝尔群 $G$ 和具有唯一 $L^p$ 算子矩阵范数的可分含幺 $L^p$ 算子代数 $A$，我们证明 $\Phi$ 是同构当且仅当 $G$ 有限或 $p=2$；特别地，在 $p=2$ 的情形下 $\Phi$ 是等距同构。此外，证明了 $\Phi$ 对于 $G$ 在 $F^p(\hat{G},F^p(G,A,\alpha),\hat{\alpha})$ 上的双重对偶作用 $\hat{\hat{\alpha}}$ 与 $G$ 在 $\mathcal{K}(l^p(G))\otimes_p A$ 上的作用 $\mathrm{Ad}\rho\otimes\alpha$ 是等变的。