乘子 Hopf 代数的作用

对于群 $G$ 在代数 $R$(于 $\Bbb C$ 上)上的作用 $\alpha$,交叉积 $R\times_\alpha G$ 是 $G$ 中取有限支撑的 $R$ 值函数构成的向量空间,连同由$$(\xi \eta)(p) = \sum_{q \in G} \xi(q) \alpha_q (\eta (q^{-1}p))$$给出的扭曲卷积积,其中 $p\in G$。这一构造已被推广到 Hopf 代数理论中。给定 Hopf 代数 $A$ 在代数 $R$ 上的一个作用,可以利用涉及该作用的扭曲积使张量积 $R\ot A$ 成为代数。在此情形,该代数称为 smash 积,记为 R# A。在群的情形, $G$ 在 $R$ 上的作用 $\alpha$ 导出群代数 $\Bbb C G$ 作为 Hopf 代数在 $R$ 上的作用,且交叉积 $R\times_\alpha G$ 与 smash 积 R# \Bbb C G 一致。本文将 Hopf 代数的作用理论推广到乘子 Hopf 代数的作用。我们还构造了 smash 积,并获得了与 Hopf 代数原情形非常相似的结果。本文的主要结果是关于此类作用的对偶定理。我们考虑乘子 Hopf 代数的对偶对来表述该对偶定理。我们证明了代数量子群及其对偶的情形。更一般的情形仅被陈述,将在另一篇关于余作用的论文中证明。这些作用的对偶定理是相应 Hopf 代数定理的实质推广。此处用于证明该结果的技术也略有不同且更为简单。