代数量子群与对偶 II. 具有正积分的乘子Hopf *-代数

在论文《代数量子群与对偶 I》中，我们考虑正则乘子Hopf代数 $A$ 和 $B$ 的配对 $(a,b)\mapsto\langle a,b\rangle$。当 $A$ 具有积分且 $B$ 是 $A$ 的对偶时，我们可以用乘子代数 $M(B\otimes A)$ 中满足并由 $\langle V, a\otimes b\rangle=\langle a,b\rangle$（对所有 $a,b$）定义的元素 $V$ 来描述对偶。对偶对的性质用该乘子 $V$ 表述。它以自然方式作用于 $A\otimes A$ 作为典范映射 $T$，由 $T(a\otimes a')=\Delta(a)(1\otimes a')$ 给出。在这篇关于该主题的第二篇论文中，我们假设该配对来自具有正积分的乘子Hopf $^*$-代数。在此情形下，$A$ 上的正右积分可用于构造Hilbert空间 $\mathcal H$。对偶 $V$ 现在作为Hilbert空间张量积 $\mathcal H\otimes\mathcal H$ 上的酉算子作用。这最终使得将代数量子群完备化为局部紧量子群成为可能。从代数量子群到算子代数完备化的过程已在文献中处理过，但由于必须使用左Hilbert代数，该构造相当复杂。在本文中，我们给出了一个全面然而简洁且较为简单的方法。它应被视为通向更复杂的局部紧量子群理论的跳板。