局部紧量子群：Radford 的 $S^4$ 公式

设 $A$ 为有限维 Hopf 代数。$A$ 上的左积分与右积分通过 $A$ 的一个 distinguished group-like 元素 $\delta$ 相关联。类似地，在对偶 Hopf 代数 $\hat A$ 中存在元素 $\hat\delta$。Radford 证明了对于 $A$ 中的所有 $a$，有 $$S^4(a)=\delta^{-1}(\hat\delta\triangleright a \triangleleft \hat\delta^{-1})\delta$$ 其中 $S$ 是 $A$ 的对极元，$\triangleright$ 和 $\triangleleft$ 用于表示 $\hat A$ 在 $A$ 上的标准左作用和右作用。该公式对于具有积分的 multiplier Hopf 代数（代数量子群）仍然成立。在局部紧量子群理论中，可以证明 Radford 公式的解析形式（用 Hilbert 空间上的有界算子表示）。在本次报告中，我们无意专门讨论 Radford 公式本身，而是旨在利用它及相关公式，阐述从 Hopf 代数理论（包括紧量子群）到 multiplier Hopf 代数（包括离散量子群），再到更一般的局部紧量子群理论的演进过程中的各个方面。