关于弱乘子 Hopf 代数的 Larson-Sweedler 定理探讨

设 $A$ 为具有单位元的代数，$\Delta:A\to A\otimes A$ 为赋予余单子元的余子积。如果存在忠实的左积分和忠实的右积分，可以构造出反象素，从而 $(A,\Delta)$ 成为 Hopf 代数。这就是 Larson-Sweedler 定理。该结果对于乘子 Hopf 代数、弱 Hopf 代数和弱乘子 Hopf 代数都有推广。在乘子 Hopf 代数的情形下，余单子元的存在可以被弱化，可用余子积为满来替代。类似的结果同样适用于弱乘子 Hopf 代数。本文指出，实际上乘子 Hopf 代数的结论可以在余子积满的条件下仍然成立。显然，这一属性会从其他条件中自然推导。因此，在原始 Hopf 代数的定理中，余单子元的存在也是其他条件的必然结果。这对原定理进行了轻微的推广。弱乘子 Hopf 代数的情形似乎更为微妙，我们在此讨论问题并阐述可能的结论。我们将这些结果与局密性量子群理论的发展联系起来进行讨论，这在附录中进一步展开。