弱乘子 Hopf 代数：主要理论

弱乘子 Hopf 代数是一个对 $(A,\Delta)$，由一个非退化幂等代数 $A$ 和其上的余乘积 $\Delta$ 组成。该余乘积是从 $A$ 到乘子代数 $M(A\otimes A)$ 的余结合同态，并具有一些自然的额外性质（如余单位的存在性）。此外，我们对由 $A\otimes A$ 到 $M(A\otimes A)$ 定义的规范映射 $T_1$ 和 $T_2$ 的值域和核施加了额外但自然的条件，其中 $T_1(a\otimes b)=\Delta(a)(1\otimes b)$ 且 $T_2(a\ot b)=(a\otimes 1)\Delta(b)$。第一个条件涉及这些映射的值域。假设存在一个幂等元 $E\in M(A\otimes A)$，使得 $\Delta(A)(1\ot A)=E(A\ot A)$ 且 $(A\otimes 1)\Delta(A)=(A\otimes A)E$。第二个条件确定了余乘积在 $E$ 的腿上的行为。我们要求 $(\Delta\otimes \iota)(E)=(\iota\otimes\Delta)(E)=(1\otimes E)(E\ot 1)=(E\otimes 1)(1\otimes E)$，其中 $\iota$ 是恒等映射，而 $\Delta\otimes \iota$ 和 $\iota\otimes\Delta$ 是扩展到乘子代数 $M(A\otimes A)$ 的映射。最后，最后一个条件通过一个非常特定的关系，用这个幂等元 $E$ 确定了规范映射 $T_1$ 和 $T_2$ 的核。基于这些条件，我们发展了该理论。特别地，我们构造了满足预期性质的唯一对极元以及各种其他数据。我们特别关注正则情形（即对极元是双射时）和 *-代数情形（其中正则性是自动成立的）。弱 Hopf 代数是此类弱乘子 Hopf 代数的特例。反之，如果（正则）弱乘子 Hopf 代数的底层代数具有单位元，则它是一个弱 Hopf 代数。此外，任何群胚（无论有限与否）都会产生两个对偶的弱乘子 Hopf 代数。