群余分次乘子 Hopf 代数的 Drinfel'd 双重

设 $G$ 为任意群，令 $K(G)$ 表示 $G$ 中具有有限支撑的复值函数的乘子 Hopf 代数。$K(G)$ 中的乘积为逐点乘积。$K(G)$ 上的余乘法通过公式 $(\Delta(f)) (p,q) = f(pq)$（对所有 $f \in K(G)$ 及 $p, q \in G$）在乘子代数 $M(K(G) \otimes K(G))$ 中取值来定义。本文考虑乘子 Hopf 代数 $B$（域为 $\Bbb C$），使得存在嵌入 $I: K(G) \to M(B)$。该嵌入是一个非退化代数同态，尊重余乘法并将 $K(G)$ 映入 $M(B)$ 的中心。这些乘子 Hopf 代数称为“ $G$-余分次乘子 Hopf 代数”。它们是 Turaev 与 Virelizier 所研究的 Hopf 群余代数的推广。本文还考虑群 $G$ 在 $G$-余分次乘子 Hopf 代数 $B$ 上的一个“容许”作用 $\pi$。当 $B$ 与乘子 Hopf 代数 $A$ 配对时，我们构造 Drinfel'd 双重 $D^\pi$，其 coproduct 与 product 依赖于作用 $\pi$。我们也处理 $^*$-代数情形。若 $\pi$ 为平凡作用，则恢复了与对 $<A, B>$ 相关的通常 Drinfel'd 双重。另一方面，Zunino 为有限型 Hopf 群余代数构造的 Drinfel'd 双重也是上述构造的一个例子。此时作用是非平凡的，但与群在其自身上的伴随作用相关。于是该双重又是一个 $G$-余分次乘子 Hopf 代数。