有限群扭曲等变 K-理论上的乘法结构

设 $K$ 为有限群，$G$ 为通过自同构作用于 $K$ 的有限群。本文研究两个不同但密切相关的主题：一方面，我们对赋予 $K$ 的扭曲 $G$-等变 K-理论的所有可能的乘法和结合结构进行分类；另一方面，我们对赋予 $K$ 上扭曲且 $G$-等变丛范畴的所有可能的幺半结构进行分类。我们通过与半直积 $K \rtimes G$ 相关的双重条形分辨率的子双重复形的上链编码相关信息来实现这一分类；我们利用关于 $K$、$G$ 和 $K \rtimes G$ 上同调的已知计算来生成我们分类的具体示例。在 $K=G$ 且 $G$ 通过共轭作用的情况下，乘法映射 $G \rtimes G \to G$ 是群同态，我们定义了一个洗牌同态（shuffle homomorphism），在同调层面实现了该映射。我们表明，定义扭曲 Drinfeld 双代的范畴信息可以实现为应用于 $G$ 的任意 3-上闭链的洗牌同态的对偶。我们利用上同调中乘法映射的回拉来分类扭曲 Drinfeld 双代表示的 Grothendieck 环可能具有的环结构，并包含了该过程的具体示例。