交叉积的等变内射性

我们引入了 $\mathbb{G}$-算子空间 $(X, \alpha)$ 的概念，它由局部紧量子群 $\mathbb{G}$ 在算子空间 $X$ 上的作用 $\alpha: X \curvearrowleft \mathbb{G}$ 组成，并研究了此类算子空间的 $\mathbb{G}$-等变内射性概念。给定一个 $\mathbb{G}$-算子空间 $(X, \alpha)$，我们定义了一个自然关联的交叉积算子空间 $X\rtimes_\alpha \mathbb{G}$，它具有典范作用 $X\rtimes_\alpha \mathbb{G} \curvearrowleft \mathbb{G}$（伴随作用）和 $X\rtimes_\alpha \mathbb{G}\curvearrowleft \check{\mathbb{G}}$（对偶作用），其中 $\check{\mathbb{G}}$ 是对偶量子群。然后我们证明，如果 $X$ 是一个 $\mathbb{G}$-算子系统，那么 $X\rtimes_\alpha \mathbb{G}$ 是 $\mathbb{G}$-内射的当且仅当 $X\rtimes_\alpha \mathbb{G}$ 是内射的且 $\mathbb{G}$ 是顺从的；并且（在温和假设下）$X\rtimes_\alpha \mathbb{G}$ 是 $\check{\mathbb{G}}$-内射的当且仅当 $X$ 是 $\mathbb{G}$-内射的。我们讨论了这些结果如何推广并统一了文献中的若干最新结果，并给出了这些结果的新应用。