全量子交叉积、不变测度与 I 型提升

我们证明，对于局部紧量子群（LCQG）$\mathbb{H}\le \mathbb{G}$ 的闭嵌入，若 $\mathbb{G}/\mathbb{H}$ 容许不变概率测度，则一个酉 $\mathbb{G}$-表示若其到 $\mathbb{H}$ 的限制为 I 型，则其本身为 I 型。相关地，我们还证明若 LCQG 在含单位元的 $C^*$-代数上的作用 $\mathbb{G}\circlearrowright A$ 容许不变态，则 $\mathbb{G}$ 的全群代数嵌入到所得全交叉积中（若原代数不含单位元，则嵌入到该交叉积的乘积子代数中）。我们还证明了关于 LCQG 作用交叉积的其他若干结果，其中一些似乎是业界共识；其中包括 (a) 两个互对偶量子群态射产生同构的全交叉积，以及 (b) 由对偶可余顺从 LCQG 得到的全交叉积与约化交叉积同构。