Prym 簇与一般型曲面的典范映射

设 X 为一般型光滑复曲面,使得 X 的典范映射 $\phi$ 的像为曲面 $\Sigma$ 且 $\phi$ 的次数 $\delta\geq 2$。设 $\epsilon\colon S\to \Sigma$ 为 $\Sigma$ 的奇点解消,并假设 S 的几何亏格非零。Beauville 已证明在此情形下 S 为一般型且 $\epsilon$ 为 S 的典范映射。Beauville 还构造了迄今已知的满足上述性质的唯一无限族例子 $\phi:X\to \Sigma$。从其构造出发,我们定义一种{\em 优良生成对},即一对 $(h:V\to W, L)$,其中 h 为曲面的有限态射,L 为 W 上满足某些假设的 nef 且 big 线丛。我们证明,通过将类似于 Beauville 的构造应用于优良生成对,可得到一般型曲面的无限族,其典范映射以 2 对 1 映到一个典范嵌入曲面。以此方式我们能够构造更多此类曲面的无限族。此外,我们证明优良生成对的不变量是上有界的,且本质上只有 2 个例子满足 $\dim |L|>1$。我们用以获得这些结果的关键事实是 V 的 Albanese 簇 P 是一个 Prym 簇,且 Prym 映射在 P 上的纤维具有正维数。