与 Enriques 曲面二重覆盖相关的相对 Prym 簇

给定一个 Enriques 曲面 $T$，其通用 K3 覆盖 $f: S\to T$，以及 $T$ 上的一个 genus $g$ 线性系 $|C|$，我们构造了相对 Prym 簇 $P_H=\Prym_{v, H}(\D/\CC)$，其中 $\CC\to |C|$ 和 $\D\to |f^*C|$ 是通用族，$v$ 是 Mukai 向量 $(0,[D], 2-2g)$，$H$ 是 $S$ 上的一个极化。相对 Prym 簇是一个 $(2g-2)$ 维的可能奇异簇，其光滑部分 endowed with 一个 hyperk"ahler 结构。该簇构造为定义在模空间 $M_{v,H}(S)$ 上的辛双有理对合的不动点集的闭包。存在一个自然的 Lagrangian 纤维化 $\eta: P_H \to |C|$，它将 $P_H$ 的正则部分变为一个可积系统，其一般纤维是一个 $(g-1)$ 维的（主极化）Prym 簇，在大多数情况下它不是曲线的 Jacobian。我们证明，如果 $|C|$ 是一个超椭圆线性系，则 $P_H$ 允许一个辛解消，该解消双有理等价于 K3$^{[g-1]}$ 型的 hyperk"ahler 流形；而如果 $|C|$ 不是超椭圆的，则 $P_H$ 不允许任何辛解消。我们还证明，$P_H$ 的任何解消都是单连通的，并且当 $g$ 为奇数时，$P_H$ 的任何解消的 $h^{2,0}$-Hodge 数等于一。