论 Prym 映射的唯一性

经典的 Prym 构造将一条带有非零上同调类 $\theta \in H^1(X,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 的光滑亏格 $g$ 复曲线 $X$ 关联到一个主极化阿贝尔簇（PPAV）$\mbox{Prym}(X,\theta)$。将配对 $(X,\theta)$ 的模空间记为 $\mathcal{R}_g$，并令 $\mathcal{A}_h$ 为维数 $h$ 的 PPAV 的模空间。Prym 构造整体化为一个全纯映射 $\mbox{Prym}: \mathcal{R}_g \to \mathcal{A}_{g-1}$，其定义域和值域均为复 orbifold。对于 $g\geq 4$ 且 $h \leq g-1$，我们证明 $\mbox{Prym}$ 是从 $\mathcal{R}_g$ 到 $\mathcal{A}_h$ 的非平凡全纯映射中唯一的复 orbifold 全纯映射 $F:\mathcal{R}_g \to \mathcal{A}_h$。这解决了 Farb 的一个猜想。我们证明的一个主要组成部分是对同态 $\pi_1^{\mbox{orb}}(\mathcal{R}_g) \to \mbox{Sp}(2h,\mathbb{Z})$（其中 $h \leq g-1$）的分类。这是利用几何群论和低维拓扑中的论证完成的。