典范基的几何与镜像对称

装饰曲面 $S$ 是指边界上具有有限个特殊点的曲面，考虑其在同伦下的等价类。设 $G$ 为分裂可约群。对 $(G, S)$ 可构造模空间 $A(G, S)$，该空间与 $S$ 上的 $G$-局部系空间密切相关，并具有正结构。因此，其整值热带点集得以定义。我们在 $A(G, S)$ 上引入一个有理正函数 $W$，称为势函数。其热带化非负的条件确定了一个子集。对于 $SL(2)$，我们恢复了 $S$ 上的整值层流集。我们证明，当 $S$ 为边界上有 $n$ 个特殊点的圆盘时，该集参数化了卷积簇的拓扑维数分支。因此，通过几何 Satake 对应，它们为 Langlands 对偶群的不可约模的张量积不变量提供了典范基。当 $G=GL(m)$ 且 $n=3$ 时，$A(G,S)$ 上存在一个特殊的坐标系。我们表明，该坐标系将我们的集合与 Knutson-Tao 的蜂巢（hives）集等同起来。我们的结果推广了 Kamnitzer 的定理，后者利用蜂巢参数化了 $GL(m)$、$n=3$ 情形下卷积簇的拓扑分支。对于 $n>3$，我们证明了 Kamnitzer 猜想。我们定义了张量积中的典范基，推广了单一表示中的 Mirkovic-Vilonen 基。我们证明，对于任意 $S$，$A(G, S)$ 的正整值热带点集参数化了一个新空间——曲面仿射 Grassmannian 中的拓扑分支。我们将 $W$ 视为 $A(G,S)$ 上 Landau-Ginzburg 模型的势函数。我们猜想，对 $(A(G,S), W)$ 是 Langlands 对偶群在 $S$ 上的局部系模空间的镜像对偶。在一种特殊情形下，我们恢复了 Givental 关于旗簇量子上同调联络的描述。