真 Proper Landau-Ginzburg 势即为开镜像映射

配备反典范除子 $E$ 的光滑环面 Fano 曲面 $X$ 的镜像对偶是一个带有超势 $W$ 的 Landau-Ginzburg 模型。Carl-Pumperla-Siebert 利用对偶 $(X,E)$ 的环面退化，用热带圆盘给出了超势的定义。当 $E$ 光滑时，该超势是 proper 的。我们证明此 proper 超势等于典范丛 $K_X$ 中 framing zero 处外部 Aganagic-Vafa brane 的开镜像映射。作为推论，proper Landau-Ginzburg 势是 Lerche-Mayr Picard-Fuchs 方程的解。在此过程中，我们利用量子 theta 函数的乘法规则，将 Cadman-Chen 关于相对 Gromov-Witten 不变量的结果推广到任意亏格。此外，我们将 Hu 关于爆破下曲面 Gromov-Witten 不变量的定理从绝对情形推广到相对情形。我们给出的两个证明之一引入了散射图的双有理修正。我们还展示了 Hori-Vafa 超势如何通过从环面腔到散射图无界腔的突变与 proper 超势相关联。