论 Landau-Ginzburg 系统、箭图与单值性

设 $X$ 为一个环面 Fano 流形，记 $Crit(f_X) \subset (\mathbb{C}^{\ast})^n$ 为相应 Landau-Ginzburg 方程组的解概型。对于环面 Del-Pezzo 曲面和各种环面 Fano 三维流形，我们定义了一个映射 $L : Crit(f_X) \rightarrow Pic(X)$，使得 $\mathcal{E}_L(X) : = L(Crit(f_X)) \subset Pic(X)$ 成为一个全强例外线丛族。我们观察到一个自然单值映射的存在：$$M : \pi_1(L(X) \setminus R_X,f_X) \rightarrow Aut(Crit(f_X))$$ 其中 $L(X)$ 是所有 Newton 多面体等于 $X$ 的 Landau-Ginzburg 势 $f_X$ 的 Newton 多面体的 Laurent 多项式空间，而 $R_X \subset L(X)$ 是其对应解概型为既约的所有元素的空间。我们表明，$Crit(f_X)$ 的单值性与例外族 $\mathcal{E}_L(X)$ 的箭图表示存在非平凡关系。我们将映射 $L: Crit(f_X) \rightarrow Pic(X)$ 的这一性质称为 $M$-对齐性质。我们讨论了此类 $M$-对齐例外映射的存在性在环面 Fano 流形镜像对称各个方面可能的应用。