张量积重数、典范基与全正簇

我们得到了一族显式的“多面体”组合表达式，用于描述复半单李代数上两个简单有限维模的张量积中的重数。这里“多面体”是指所讨论的重数表示为某个凸多面体中的格点数目。我们的答案使用了一个新的组合概念 $\ii$-轨迹（trails），它类似于 Littelmann 的路径但似乎更易于处理。我们还研究了 Lusztig 典范基或等价的 Kashiwara 整体基的组合结构。尽管 Lusztig 已证明 Lusztig 和 Kashiwara 的方法彼此等价，它们却导致了典范基的不同组合参数化。我们的主要结果之一是给出了这些参数化之间关系的显式描述。我们处理上述问题的方法基于 G. Lusztig 的一个显著观察：典范基的组合学与全正簇的几何密切相关。我们用两个互逆的变换：“热带化（tropicalization）”与“几何提升（geometric lifting）”来表述这一关系。