几何富集粒子的分段确定系统的混沌传播与中等强度相互作用

在本文中，我们研究一个由 $N$ 个粒子组成的系统，其中每个粒子由位置（在 $\mathbb{R}^d$ 中）与所谓取向（其为紧致黎曼流形中的元素）这一对量定义。该取向可视为 Vicsek 型模型（如 [Degond et al. 2017; Degond, Motsch 2008]）中速度的推广。我们将假设每个粒子的取向遵循跳跃过程，而其位置在两次跳跃之间确定性演化。跳跃的规律依赖于粒子的位置及其邻域的取向。在极限 $N\to\infty$ 下，我们首先证明了一个混沌传播结果，其可视为经典 McKean-Vlasov 系统结果 [Sznitman 1991] 对分段确定马尔可夫过程（PDMP）的推广。如同 [Jourdain, M\'el\'eard 1998]，我们随后证明，在关于 $N$ 对智能体间相互作用半径的适当重标度（中等强度相互作用）下，极限平均场系统的定律满足具有局域相互作用的 BGK 方程，该方程已在 [Degond et al. 2018] 中作为集体行为模型被研究。最后，在空间齐次情形中，我们给出了一种基于鞅论证的替代方法。