临界 Galton--Watson 过程条件极限定理的概率论证明

设 $\{Z_{n}\}_{n\geq0}$ 为具有有限方差 $\sigma^{2}$ 的临界 Galton--Watson 分支过程。Spitzer（未发表）、Lamperti 和 Ney（1968）证明了对于任意固定的 $0<t<1$，有 $$\mathscr{L}\left(\frac{Z_{nt}}{n}\Big|Z_{n}>0\right)\overset{\text{d}}{\rightarrow}U_{t}+V_{t}$$ 当 $n\rightarrow\infty$ 时，其中 $U_{t}$ 和 $V_{t}$ 是独立的随机变量，分别具有参数为 $2/(t(1-t)\sigma^{2})$ 和 $2/(t\sigma^{2})$ 的指数分布。该证明基于拉普拉斯变换，简洁而优美。本文将明确说明这两个指数随机变量来自哪里，具体来说，它们来自于 Geiger 条件树在第 $[nt]$ 代的“脊柱”的“左”和“右”部分。为此，我们将研究 Geiger 条件树的更多细节和内在性质，这些性质本身也是很有趣的。