偶数维闭流形上的规定 $Q$-曲率流

在一个偶数维 $n \geqslant 4$ 的闭黎曼流形 $(M,g_0)$ 上，著名的规定 $Q$-曲率问题询问是否存在一个与 $g_0$ 共形的度量 $g$，使得其对应于 GJMS 算子 $\mathbf P_g$ 的 $Q$-曲率等于给定函数 $f$。令 $g = e^{2u}g_0$，该问题等价于求解 $$\mathbf P_{g_0} u+Q_{g_0} = f e^{nu},$$ 其中 $Q_{g_0}$ 表示 $g_0$ 的 $Q$-曲率。本文的主要目标是引入如下依赖于时间的度量 $g(t)$（与 $g_0$ 共形）的负梯度流， $$\frac{\partial g (t)}{\partial t}= -2\Big(Q_{g (t)} - \frac{\int_M f Q_{g(t)} d\mu_{g(t)} }{\int_M f^2 d\mu_{g(t)} }f \Big)g(t) \quad \text{ for } t >0,$$ 以研究规定 $Q$-曲率问题。由于 $\int_M Q_g d\mu_g$ 是共形不变的，我们的分析依赖于 $\int_M Q_{g_0} d\mu_{g_0}$ 的大小，其假设满足 $$\int_M Q_0 d\mu_{g_0} \ne k (n-1)! \, {\rm vol}(\mathbb S^n) \quad \text{ for all } \; k = 2,3,...$$ 本文包含两部分。首先，我们确定 $f$ 上的适当条件，使得如上定义的梯度流对所有时间有定义且在时间趋于无穷时依序列或一致收敛。其次，我们证明规定 $Q$-曲率问题的各种存在性定理可由该流的收敛性导出。