全局维数为 $p^2$ 的预模融合范畴

设 $p\geq5$ 为素数，我们证明非点模融合范畴 $\mathcal{C}$ Grothendieck 等价于 $\mathcal{C}(\mathfrak{sl}_2,2(p-1))_A^0$ 当且仅当 $\dim(\mathcal{C})=p\cdot u$，其中 $u$ 为某全正代数单位，$A$ 为 Tannakian 子范畴 $\text{Rep}(\mathbb{Z}_2)\subseteq\mathcal{C}(\mathfrak{sl}_2,2(p-1))$ 的正则代数。作为直接推论，我们分类了全局维数为 $p^2$ 的非简单模融合范畴。