关于 Frobenius-Perron 维数模 4 同余于 2 的模范畴

我们推进了 $\operatorname{FPdim}(\mathcal{C})\equiv 2 \pmod 4$ 的模范畴 $\mathcal{C}$ 的分类。我们证明此类范畴具有偶阶可逆元群,且可分解为 $\mathcal C\cong \widetilde{\mathcal C} \boxtimes \operatorname{sem}$,其中 $\widetilde{\mathcal C}$ 为奇维模范畴而 $\operatorname{sem}$ 为秩 2 的点模范畴。这将此类范畴的分类归约为奇维模范畴的分类。由此可知,秩不超过 46 且 $\operatorname{FPdim}(\mathcal{C})\equiv 2 \pmod 4$ 的模范畴 $\mathcal C$ 均为点模范畴。更一般地,我们证明若 $\mathcal C$ 为弱整模范畴(MTC)且 $p$ 为整除可逆元群阶并在 $\operatorname{FPdim}(\mathcal C)$ 中重数为一的奇素数,则有分解 $\mathcal C \cong \widetilde{\mathcal C} \boxtimes \operatorname{Vec}_{\mathbb Z_p}^{\chi},$ 其中 $\widetilde{\mathcal C}$ 为维数不被 $p$ 整除的 MTC。