C*-代数的多项式表示及其应用

这是我们先前关于实对合代数的非线性完全正映射与膨胀理论论文的续作，其中我们将所有表示分类问题归约为从$C^*$-代数${\mathcal A}$到其对称幂$S^n({\mathcal A})$（相应地，到乘法$*$-半群$({\mathcal A},\cdot)$的全纯表示）的过渡。此处我们详细研究${\mathcal A}$与$S^n({\mathcal A})$的表示之间的对应。由于$S^n({\mathcal A})$是对称群$S_n$在${\mathcal A}^{\otimes n}$上自然作用的定点代数，这通过将$S^n({\mathcal A})$的表示与其作为遗传子代数所处的交叉积${\mathcal A}^{\otimes n} \rtimes S_n$的表示相关联来实现。对于I型$C^*$-代数，我们获得了$S^n({\mathcal A})$不可约表示的等价类的相当完整的描述，并将其与$C^*$-代数的Schur--Weyl理论相联系。最后我们证明，若${\mathcal A}\subseteq B({\mathcal H})$是II型或III型因子，则其对应的${\mathcal H}^{\otimes n}$上的乘法表示是同类型的因子表示，这与经典情形${\mathcal A}=B({\mathcal H})$不同。