实秩零 C*-代数中的 AF 嵌入

证明了每个实秩零的可分 $C^*$-代数都包含一个 AF 子 $C^*$-代数，使得包含映射诱导出两个 $C^*$-代数的理想格之间的同构，并且大 $C^*$-代数的矩阵代数中的每个投影都等价于该 AF 子 $C^*$-代数的矩阵代数中的某个投影。这一结果在幺半群层面证明，用到了实秩零 $C^*$-代数中投影的 Murray-von Neumann 等价类幺半群具有精化性质。作为我们结果的应用，我们证明：给定一个单位 $C^*$-代数 $A$ 以及自然数 $n$，存在单位 $^*$-同态 $M_{n_1} \oplus ... \oplus M_{n_r} \to A$（其中 $r,n_1, ...,n_r$ 为某些自然数且对所有 $j$ 有 $n_j \ge n$）当且仅当 $A$ 没有维数小于 $n$ 的表示。