C*-代数的行列式秩

设 $A$ 为含单位元的 $C^*$-代数，$U_0(A)$ 为 $A$ 中与单位元路径连通的酉元群。记 $CU(A)$ 为 $U_0(A)$ 的交换子群的闭包。设 $i_A^{(1, n)}\colon U_0(A)/CU(A)\rightarrow U_0(\mathrm M_n(A))/CU(\mathrm M_n(A))$ 为由 $u \mapsto {\rm diag}(u,1_n)$ 定义的 \hm\,映射。我们研究该映射对所有 $n$ 均为同构的条件。我们证明该映射总是满射，且当 $A$ 具有稳定秩一时为单射。当 $A$ 为实秩零的含单位元 $C^*$-代数，或 $A$ 无迹态时，该映射也是单射。我们证明当 $A$ 为稳定秩 $k>1$ 的 Villadsen 单 AH--代数时，该映射是同构。我们还证明对于所有 Blackadar 的含单位元、无投影、可分、单 $C^*$-代数，该映射均为同构。设 $A=\mathrm M_n(C(X))$，其中 $X$ 为任意紧度量空间。值得注意的是，映射 $i_A^{(1, n)}$ 对所有 $n$ 均为同构。由此推论，对于任何作为上述形式 $\mathrm M_n(C(X))$ 的 $C^*$-代数的有限直和的归纳极限的含单位元 $C^*$-代数 $A$，映射 $i_A^{(1, n)}$ 总是同构。然而，我们表明存在含单位元的 $C^*$-代数 $A$，使得 $i_A^{(1,2)}$ 不是同构。