标量积扰动下的极分解

设 $A$ 是一个含对合 * 的含单位元 C* 代数,表示于 Hilbert 空间 $H$ 中,$G$ 为 $A$ 的可逆元群,$U$ 为 $A$ 的酉群,$G^s$ 为 $A$ 的可逆自伴元集合,$Q=\{e\in G : e^2 = 1\}$ 为反射空间,$P = Q\cap U$。对任意 $G$ 中正元 $a$,考虑 $a$-酉群 $U_a=\{g\in G : a^{-1} g^* a = g^{-1}\}$,即关于标量积 $\langle\xi,\eta\rangle_a = \langle a \xi,\eta\rangle$($\xi, \eta\in H$)为酉的元素。若 $\pi$ 表示将每个可逆元映到其在极分解中酉部分的映射,我们证明限制 $\pi|_{U_a}: U_a \to U$ 是微分同胚,且 $\pi(U_a \cap Q) = P$,以及 $\pi(U_a\cap G^s) = U_a\cap G^s = \{u\in G: u=u^*=u^{-1} \text{ 且 } au = ua\}$。