离散群上的 $\Phi$-调和函数与第一 $\ell^\Phi$-上同调

我们研究了可数离散群 $G$ 以 $G$-模 $\ell^\Phi(G)$ 为系数的第一上同调群，其中 $\Phi$ 是一个属于 $\Delta_2(0)\cap \nabla_2(0)$ 类的 $N$-函数。基于 Puls 和 Martin--Valette 的思想发展，对于有限生成群 $G$，我们引入了离散 $\Phi$-拉普拉斯算子，并证明了一个关于将 $\Phi$-狄利克雷有限函数空间分解为 $\Phi$-调和函数空间与 $\ell^\Phi(G)$ 空间直和（具有适当的商空间）的定理。我们还证明，如果有限生成群 $G$ 拥有一个有限生成的无限可均子群且该子群具有无限中心化子，则 $\overline{H}^{1}(G,\ell^{\Phi}(G)) = 0$。最后，我们展示了两个群（其中一个是非可均群）的 wreath product 的第一上同调群的平凡性。