周期扰动平面自治系统的周期解：一种拓扑方法

本文旨在研究具有最小周期 $T_0>0$ 极限环 $x_0$ 的非线性平面自治系统，在受到小参数、$T_1$-周期扰动时周期解的存在性。当 $T_0/T_1$ 为有理数 $l/k$（其中 $l, k$ 为素数）时，我们提供了条件以保证：对于足够小的参数扰动 $\epsilon>0$，扰动系统存在 $klT_0$-周期解 $x_\epsilon$，且当 $\epsilon \to 0$ 时收敛于极限环轨迹 $x_1$。此外，我们陈述了 $T=klT_0$ 成为周期解 $x_\epsilon$ 最小周期的条件。我们还提出了一个简单判据以确保这些条件得到满足。最后，当 $T_0/T_1$ 为无理数时，我们证明了对于任意 $T>0$ 和 $\epsilon>0$，扰动系统不存在收敛于 $x_1$ 的 $T$-周期解 $x_\epsilon$。所采用的方法基于拓扑度理论。