Perazzo 三维簇与弱 Lefschetz 性质

我们研究 $\mathbb P^4$ 中的 Perazzo 三维簇，即由齐次多项式 $f(x_0,x_1,x_2,u,v)=p_0(u,v)x_0+p_1(u,v)x_1+p_2(u,v)x_2+g(u,v)$ 定义的次数 $d$ 超曲面 $X=V(f)\subset \mathbb P^4$，其中 $p_0,p_1,p_2$ 是 $u,v$ 中次数 $d-1$ 的代数相关但线性无关形式，$g$ 是 $u,v$ 中次数 $d$ 的形式。Perazzo 三维簇具有消失的 Hessian，因此相关的分次 Artinian Gorenstein 代数 $A_f$ 不满足强 Lefschetz 性质。本文中，我们确定了 $A_f$ 的 Hilbert 函数的最大值与最小值，并证明若 $A_f$ 具有最大 Hilbert 函数则不满足弱 Lefschetz 性质，而在具有最小 Hilbert 函数时满足弱 Lefschetz 性质。此外，我们分类了 $\mathbb P^4$ 中所有使 $A_f$ 具有最小 Hilbert 函数的 Perazzo 三维簇。